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设计数学变式链 挖掘例题新功能——以《相似三角形的综合》课为例
杭州市丁兰实验中学 王健国
【摘 要】在初中数学教学中，例题教学是最基本的模式。长久以来，例题主要为新课服务，功能相对单一。但在知识趋于综合的状况下，其暴露的不足也越来越明显。通过合适的例题载体，设计变式教学，串联起不同知识、不同方法的综合应用，挖掘例题的新功能，培养适度的模型思想，可以很好的减轻学生负担、促进学生数学思维的发展。
【关键词】一线三等角 变式链 新功能
例题教学作为初中课堂教学的重要资源和载体，对于促进学生理解数学知识、建构知识点间的联系，发展数学逻辑思维、培养问题分析、解决能力都至关重要。随着九年级的学习的逐渐深入，题目呈现的背景越来越复杂、知识点相互串联越来越紧密、图形的线条越来越多，对学生的数学思维要求越来越高。如果教师在教学中能够设计数学变式链，挖掘例题新功能，则可以培养学生利用模型思维解决问题的能力，促进学生的思维发展。
一、当前例题教学的现状
平时教学中，主要是单一新知学习的配套例题，以熟练新知应用为导向，例题功能相对单一；同时课堂导向具有针对性，学生会有定向思维。教师也不会特别去深挖例题的其它属性，主要为新课服务。从时间的角度看，也不允许教师有过多的拓展。导致的后果，学生在新课学习中感觉会的，一到测试，尤其是综合性测试中又不会的结果。复习课中也更多的呈现例题的堆积，以多做提高学生的题目熟悉度，例题的知识串联、其它功能相对不足。
二、例题变式链的设计与操作
要改变学生的现状，克服单一性例题的流弊，克服学生解题的短板。就需要教师创造性的使用例题，解决学生思维的漏洞、思维的盲点。在减轻学生压力的同时，不但能提高学生的解题能力；还可以让学生将例题的知识、方法串成链，寻求利益最大化，推动学生学习的可持续发展。
下面以笔者上的《相似三角形的综合》为例，具体谈谈如何设计例题变式链，挖掘例题新功能。
课例如下：1.复习回顾，突出基本图形
课堂设计如下：问题1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D
为BC上一点.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B.请
找出图中的相似三角形.
设计这一小问，主要是让学生温故知新，通过问题的解决，促进学生的思考，让学生感受解决此类问题的常用策略：利用三角形的外角找到另一对等角，从而利用“角角”识别出相似三角形，让学生熟悉一线三等角的基本模型，为进一步学习新内容提供必要的数学知识准备。
问题2：若AB=AC=10，BC=12，点D为BC上一点，BD=4.试求出线段EC的长度。
由于上面的问题铺垫，学生自然而然可以想到利用相似三角形的比例线段解决问题，在解决问题的过程中，对基本图形再次强化巩固，使学生对解决问题的数学知识有一个更明确的认识。同时提出问题、解决问题这种形式也可以促进学生思维的不同发展。
2.模型强化，角平分线来加入
课堂设计如下：变式1：如上图，若点D为BC上的动点，运动过程中，始终保持∠ADE=∠B，问有没有一种可能，可以使△ADE ∽△DCE.
课堂操作：给学生一定的独立思考的时间，自主进行探究。
生：如果要相似△ADE ∽△DCE，则∠AED只能等于∠DEC。这样的话∠AED=
 ，所以推出AD必垂直于BC，根据AB=AC，利用等腰三角形三线合一知道点D为中点。 设计这个变式思考，主要是要将学生的思考引向深入，对一线三等角基本图形有一个全面的理解。小结本问题背景下，在中点时，有三个三角形均相似的结论，为一般化下的一线三等角基本图中三个三角形相似做好铺垫。继续思考：通过几何画板展示，若图形变化，改成如图所
示的图形。
变式2：点D为BC上动点，点D运动中，始终保持
∠FDE=∠B，还会有△FDE ∽△DCE吗？
数学是思维的体操，没有主动的思考就没有真正的数学学习。列夫
 托尔斯泰说过“知识，只有当它是靠积极的思维得来，而不是凭记忆得来的时候，才是真正的知识”。因此在课堂教学中，要留给学生思考、探究的时间，留给学生思维碰撞的机会。本问题的设置渗透特殊到一般的思想，学生对这个结论是否还能成立，会处于一种似是而非的状态。因为有刚才的经验，学生会跃跃欲试，但是尝试后会发现不足以应付新局面：因为司空见惯、就会眼光守旧、思维定势，就会束缚自我。本问题的设置让学生产生一种继续探究的热情。从而真正激发学生的独立思考，最大限度的调动学生的知识储备，方法储备。适时放手给学生一定时间的交流、碰撞，消除学生思维的盲点，梳理和巩固新思路，形成知识链，加深对基础相似三角形作用的再认识。
 此处有必要让学生梳理一下一线三等角基本图的知识和结构，强化对一线三等角图形的再认识。
一线三等角基本图有以下基本结论：
△BFD∽△CED；
②特殊地：若点D为BC中点，则有△BFD∽△CDE∽△DFE.
进一步追问：此时你可以发现DF是一条什么线？ DE呢？你会联想到D点还会有什么特性呢？
让学生发现原来还是角平分线，角平分线的交点特性：到三边的距离相等。
几何是研究数量和位置的一门数学，通过对图形的深入挖掘，让数学知识在一个图形中实现了完美的共存，让学生的思维不在局限于相似的思考，在特殊状态下，还可以是角平分线的基本图形的思考和解答，很好的挖掘了例题的新功能。让题目的不同知识通过题目这个载体进行了知识的有效串联，形成知识链。加强了学生对数学知识的综合应用能力，推动学生数学素养的提升。
3.模型再认识，函数知识再串联
例题功能在于挖掘、发现。例题作为典型问题，其功能是不言而喻的。把例题转化成学生可以借鉴、模仿的优势资源，挖掘转换成现实的多角度、多知识维度的功能产品，这才算真正实现了“例题”的价值。
本环节设计如下：通过几何画板的展示，让学生直观发现在点D运动中，CE长有一个区间，从而提出如下问题，变式3：如上图，BE=8，BC=12，若点D在BC上运动，运动过程中，始终保持∠ADE=∠B，问当BD等于多少时，CE的长度最大？
设计意图，渗透二次函数思想，同时让学生意识到中点时长度最大。从而让学生发现在中点时，函数最值和三相似、以及角平分线三类知识达到了共存共享。中点的这种完美特性，正是我们图形研究的核心和关键，是问题解决的重要突破口。
 教师通过对数学核心知识，思想方法的不断追问，激发学生再思考、再加工，一步步引导学生对例题的更深入认识。不但挖掘了例题的新功能，更是加深了学生对不同数学知识间的联系和转化的认识，形成数学知识链；同时也有利于学生对解题方法的掌握。4.模型推广，矩形图中再理解
设计如下：在矩形ABCD中，点P，Q分别在线段CB与线段
DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，从本图
的角度思考，刚才探讨的结论仍就成立吗？
设计意图，突破学生思维束缚，认为此结论只在三角形中存在的事实，事实上它在任何背景的一线三等角问题下都是正确的，具有普适性。加深对一线三等角基本图的认识，达到例题以一当十的功能。
 当然，思想、方法的形成是需要过程的，因此学生应有必要的动手训练，让他们去操练、去思考、去表达，通过练习、反馈、评价，促进对本节课的知识、方法、基本图的消化、应用，内化成自己自觉地的行动。5.模型回归，知识、方法来综合
根据本节课的内容，设计如下两个练习。练习1： 如图，
△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，D为
BC中点，∠EDF＝∠B，连接EF。若四边形AEDF为菱形，求∠BAC的度数及AB的值．
 本题的意图，让学生对中点特殊状态下的三相似进行应用，熟练一线三等角基本图意识；同时让学生发现此时图中四个三角形都是相似。这是一种更加特殊的存在，让学生发现E，F此时都会成为中点。如果感兴趣的话，可以再去探究如下两个思考：1、改成四边形AEDF为平行四边形呢？2、一般等腰三角形下还会有这个结论吗？练习2.在△ABC中，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN
＝∠B，.AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝4S△ABC时，
求线段EF的长．
本题的意图，突出中点特殊状态下的三相似后角平分线的性质的使用，让学生再次感受知识间的相互联系，形成知识链，培养学生综合应用、分析问题、解决问题的能力，促进学生高阶思维的发展。
三．实践的成效与不足
罗增儒教授曾说过：“解题好比在黑屋子里摸东西，我们一会儿碰到椅子，一会儿撞到桌子，好不容易摸到了目标物，然而解题远没有结束”。作为教师的我们，如何拨开云雾，让学生学得轻松有效，需要我们多深入一些思考，能将例题的选择、思考做得更充分，那么我想学生的数学思维就会有更好的、更完善的发展。
1.培养了学生的数学建模意识
2．培养了学生的模型应用能力
3.注重“回本溯源”的数学思维
4. 模型化思想的不足
参考文献：
［1］王华 进退之间揭示问题的深层结构 中学数学教学参考（中旬），2016（10）:16-19
［2］张坤 例谈数学课堂中如何启思益智，让学于生 中学数学教学参考（中旬），2016（10）:14-15
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