浅议“数学思想方法在二次函数教学中的运用”

来源:中小学教育 作者:马来雄

河南省新乡市获嘉县  马来雄  

二次函数内容是继一次函数、反比例函数后初中数学安排的最后一块函数内容.从知识结构上分析,它包括四个方面的主要内容,即二次函数的定义、图象、性质及其应用.从数学思想方法上来看,始终贯穿运动、变化的观点,形、数结合的观点.通过变化,深刻揭露了二次函数与二次三项式、一元二次方程以及一元二次不等式的内在联系,从而提供了用函数观点深化理解其的可能性.通过二次函数的教学,学生还接受到具体的诸如“配方法”、“待定系数法”等数学方法的学习.那么如何通过二次函数进行数学思想方法的教学呢?

一、纵向联系,类比迁移

二次函数的教学,就近而言,是在学生已掌握了函数的概念,正比例函数与反比例函数以及一次函数的图象和性质的基础上继续深化的;就远而言,将来要进一步系统地研究初等函数.因此从数学知识及数学思想方法的延续性和发展性入手,顺其自然地组织教学,应当是二次函数教学的出发点.

教学时,可通过回溯,分析及深入浅出的示例讲述,使学生从理性的高度认识到:研究二次函数同研究正、反比例函数及一次函数一样，都遵循着函数研究的基本方法和步骤,即:实例一定义(解析式的定义)一图象与性质一应用.

学生只要从思想上真正把握了函数研究的逻辑线索.那么,掌握二次函数研究的主要内容和研究方法;是并不困难的.如在二次函数的教学中，应当重视配方法及待定系数法等数学方法.比如关于求y=ax²+bx+c(a≠0)的最大（小）值问题，应引导学生不要局限于会应用公式，而且要掌握公式的来源,从中认识到配方法本身是一种重要的数学方法，体会其在数学学习中的重要性.待定系数法的学习主要表现在求函数的解析式,其方法不难掌握,重点是引导学生从中总出应用的一般步骤,形成应用待定系数法的意识.

二、横向联系、深化认识

在初中数学里,二次三项式(代数式)、一元二次方程(方程),及一元二次不等式(不等式),在一 -元二次函数(函数)这部分实现了交融,因此,在二次函数的教学中,实现数学知识的融会贯通以及从更高的观点上对以前学过的有关知识予以“再认识”,是教学的重要任务.

比如，以对应的观点来看待二次三项式ax² + bx +c(a≠0),则它就可理解为二次函数,借助二次函数的图象与性质,可以简捷地解决二次三项式的取值问题.

例已知二次三项式2x² -6x-8,当x取哪些值时,代数式的值:(1)大于零;(2)小于零;(3)等于零.这就要求把二次三项式2x² -6x-8理解为二次函数y=2x²-6x-8，画出函数图象，经观察就知的.

再如，求二次三项式2x²-6x - 1 的最大值或最小值.

解:把二次三项式2x²-6x-1看作为二次函数y=2x²-6x-1.只要转化成二次函数，画出图象，一目了然，相当简单.

还有，对于二次函数y=ax²+bx+c(a≠0),其与x轴的两个交点的横坐标正是方程ax²+bx+c=0的两根,这说明ax²+bx+c=0的解是使函数值为零的两个特殊值即以函数观点看一元二次方程ax²+bx+c=0的解就是使函数y=ax²+bx+c取特殊值为0的自变量的值,也就是抛物线y=ax²+

bx+c与坐标轴交点的横坐标.因而,对于一元二次方程可以借助二次函数的图象来研究之

例如，证明方程(x-m)(x+n)=1有两个实数根,且m的值介于两根之间.

这就要设y=(x-m)(x+n)-1,由于函数中x²的系数为1,故抛物线开口向上.x=m时,y=-1;故(m,-1)在x轴下方

因为抛物线的开口向上,且点(m,-1)在抛物线上,故抛物线与x轴有两个交点，设交点分别为(x₁,0),(x₂,0),x₁>x₂,则x₂<m<x_1.

当然，还有很多转化为二次函数，利用其解决好多的问题.特别是对于一元二次不等式，有两种标准形式：ax²+bx+c>0（a>0）、ax²+bx+c<0（a>0），如a<0可转化为a>0的情形.因为△有正、负、0三种情况，如果单纯从代数知识上去讨论，势必会遇到很大的困难，而借助于二次函数及其图象和性质，可使这种讨论的难度大大降低。