激活教材习题,点亮学生智慧

来源:教育教学 作者:于飞

 

威海市乳山第一中学    于飞
高中数学新课程改革已向我们迎面走来，许多专家站在历史与科学的高度，对数学教材提出了建议与思考，对推进数学课程改革所起到的作用是积极的，深远的。而我作为一位参与者，作为一位一线教师，通过近年来对高中数学新课程教材的实践与研究，带着如沐春风的喜悦，对当前数学教材中习题的挖掘，提出一些自己的思考与尝试。
教材是我们进行数学教学活动的主要载体，因此，课改的先进教育理念必然渗透在教材的每个角落。而习题是课本的重要组成部分，对习题的答案寻求，学生一般不会有很大困难，这使得我们常常忽略了对习题的深入挖掘和研究，以致很多重要的教育资源从我们身边白白溜走。美国著名数学家G·波利亚说：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各方面，使得通过这道题目，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。”事实上，对于教材上的一些司空见惯的习题，教师如果能从学生思维发展的最近点出发，寻找知识和创新思维的生长点，涉及问题情景，引起学生认知的冲突，从而就能激发学生探究的热情，不断从一个问题引申到另一个问题，让学生在研究中感悟知识，形成一定的数学能力，在数学上变得越来越聪明。 
一、点拨盲点，强化概念
行为主义心理学家桑代克的试误学习理论认为,尝试与错误是学习的基本形式,学习是一种尝试错误的过程.学生解题过程中出现的错误，是纠正自己对概念片面理解或不正确的思维方式的宝贵资源。面对错题，教师如果只是单纯地让学生机械记忆此题如何做，而不引导学生分析错误产生的原因及关键点，学生再做类似的题目时还会出错。所以，对于学生解答出现错误的习题，教师要耐心地引导学生像在黑暗中寻找光明一样去发现错误的症结，“知其然并知其所以然”。
二、思维迁移，多方出击
无论是生活中，还是学习上，思维的变通往往是打破僵局的有效方法，借此也常常能显示数学的魅力，对于同一道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，通过从不同的观察侧面，使学生的思维触角伸向不同的方向，培养学生的发散思维能力，在教学过程中经常进行这一方面的引导，可以让学生的思维比较灵活。
三、寻找联系，纵深发展
教材中，有很多结构完美，特点鲜明，做后给人留下深刻印象的习题，我们若能引导学生寻找联系，纵深发展，一方面力求体现它的应用价值，另一方面以此培养学生观察、联想发现、拓广的能力，就能达到优化思维品质的目的。
探究1：上面两道习题的结论是否具有一般性？什么情况下轨迹是椭圆？什么情况下轨迹为双曲线？
平面内一动点P到两定点M(-a,0)、N(a,0)连线的斜率之积为定值，求点P的轨迹。
设P的坐标为（x,y），则有即，∴
⑴当λ＜-1时，点P的轨迹是以MN为短轴，焦点在y轴上的椭圆（不含M、N两点）
⑵当λ=-1时，点P的轨迹是以MN为直径的圆（不含M、N两点）
⑶当-1＜λ＜0时点P的轨迹是以MN为长轴，焦点在x轴上的椭圆（不含M、N两点）
⑷当λ＜-1时点P的轨迹是以MN为实轴，焦点在x轴上的双曲线，其中λ=1时为等轴双曲线（不含M、N两点）
探究2：由上面的推导可知，当λ=-1时，有PM⊥PN，此时P点的轨迹是以MN为直径的圆，反之圆上一点与直径两端点的连线互相垂直，即两直线的斜率之积为-1。那么能否将圆中的这一性质引申到椭圆和双曲线中呢？
已知椭圆，点为椭圆上不同于长轴两端点、的任意一点，求证：是定值.
证明:由得,∴=
由类似的方法可证得双曲线中的定值为。
探究3：圆上任一点与不过该点的任何一条直径的两端点的连线都互相垂直，那么在椭圆和双曲线中探究2的结论是否成立？
M、N椭圆关于原点对称的两点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN斜率都存在时，记为与，求证：
证明：设，
       ∴
两式相减得：   故
这样不仅仅让学生掌握了如何利用形式的条件求轨迹方程，而且能意识到的取值不同，轨迹可能出现椭圆、圆、直线、双曲线等多种情况。又能将圆中的垂直问题引申到椭圆和双曲线中得到一些结论，其中探究3是圆的性质“直径上的圆周角为直角”在椭圆上的引申，2003年上海春季高考试题即出自于此。通过对教材习题间联系的挖掘和引申，使学生经历一个由特殊到一般再特殊再一般的探索过程，学生从中学到了探究的方法，体会到了探究的成果，品尝到了收获的喜悦，积累了一定数学的经验，使智慧更加丰富。
四、恰当变式，加深理解
教材中的习题，大部分学生能独立解决，但稍微一变，很多学生就不会了，纠其原因主要是学生没有真正地理解，不会灵活应用。所以在教学中，教师要善于把课本习题进行变式，暴露出学生的知识缺陷，再加以纠正，达到升华理解的目的。
所以对教材中的习题进行恰当的变形，能帮助学生看透这一类问题的本质，弥补对知识的片面理解，对提高学生学习数学兴趣、增强学好数学的信心有极大帮助，但是教师应注意课前对“变”的原则要把握好。教学中，教师要充分调动学生的积极性，让学生参与到“变”的过程，尽量选用学生“变”出的较成功题目，以提高学生学习的积极性，让学生体验成功的快乐，增强学生的自信心。
五、延伸拓展，层层深入
新的课程标准强调：“教师要让学生感受和体验数学知识产生、发展和应用的过程；启发学生发现问题和提出问题，是数学学习成为再创造、再发现的过程。”对于一些问题解题后，改变原题的结构或作适当的引申交换，往往可使一题变一串，更重要的是把问题向更高、更广的层次纵向挖掘，横向延伸，这样有利于学生拓展思路，提高应变能力。
教育部考试中心命题处处长任子朝老师曾经说过：“不能借口能力考查和理论联系实际弱化、淡化基础知识、基本理论，有的知识点看起来在课本中没有出现过，但它属于‘一捅就破’的情况，出现的可能性也是有的。”吃透教材上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学命题虽不能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是对课本原题的变形、改造及综合。回归课本要抓纲悟本，把重点放在掌握例题、习题涵盖的知识及解题方法上，充分以它们为素材，通过变形、引申、发散等方式形成典型的例题，必要时尽量一题多解或多题一解，以帮助学生对知识融会贯通，使技能和学习方法得到充分的训练和培养。
以上是本人对教材习题教学的浅显尝试与思考，试图努力体现课改新观念，尊重学生的个性，肯定学生的创造性，调动他们的潜在职能，应对高考试题改革。同时又能减少对练习题的重复训练，真正地让学生跳出题海，减轻学生的负担,并能让数学的精神熏陶他们的思维品质，用数学的魅力唤起他们的求知欲望,让他们的智慧在数学学习中熠熠闪亮。