避开“球心”谈多面体的外接球

来源:中国教师 作者:张 燃

 

湖北省襄阳市致远中学     张 燃
 
摘要：球和圆一样，有着良好的几何特征。高考中经常以球为载体，通过几何体线面关系的识别与论证，综合考查空间几何体和球的体积、表面积计算问题。解决此类问题的关键是确定球心，对于空间能力弱的学生是难点，如何避开球心解决外接球问题。下面谈谈我的想法。
关键词：外接球  线面垂直  垂足  圆心  球面
高中立体几何常见的几何体有柱体、锥体、台体、球体。正方体、长方体、直棱柱、正棱锥这些基本几何体的外接球问题，大家都比较熟悉，就不再叙述了。在外接球问题的考查中离不开线线垂直，线面垂直，面面垂直，而且这些题目中都没有明确球心的位置，下面主要谈谈此类问题的解决策略。
长方体（或正方体）与球有天然联系，长方体的中心是它的外接球的球心，长方体的体对角线是球的直径。这个问题中，抽象出关键点就是面ABC,
在球面上，是外接圆的圆心（小圆的圆心）。推广到一般情况能用模型，满足有线面垂直，垂足落在球面上，垂面与球面相交的圆面的外接圆半径是。
 
 
 
 
 
 
 
 
例1、如右图，在△ABC中，AB=BC=，∠ABC=90°，点D为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC=PD，连接PC，得到三棱锥P﹣BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（　　）
A．π   B．3π     C．5π        D．7π
 
 
 
 
 
 
 
分析：此题明显特征是存在线线垂直，通过转化可以转化线面垂直，且垂足在球面，可用上述结论。
解：由题意得且BD⊥平面PCD，且B,D,P,C在球面上，所以
是外接圆半径，而是边长为的正三角形，,
故,
例2、平面四边形中，，将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体的顶点在同一个球面上,则该球的体积。
分析：此题明显特征是存在面面垂直，通过转化可以转化线面垂直，且垂足在球面，可用上述结论。
 
 
 
 
解：面平面，而垂直于两者交线,由此可得面,垂足
在球面上，,是等腰外接圆的半径，,则体积为.
 
 
 
 
 
 
例3．(2017湖北襄阳四中五模)已知四棱锥P－ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥外接球的半径长为(　　)
分析：因为三视图复原的几何体是四棱锥，如图，顶点
在底面的射影是底面矩形的长边的中点，底面边长分别为4，2，满足侧面PAD⊥底面ABCD，△PAD为等腰直角三角形，且高为2。此题明显特征是存在面面垂直，通过转化可以转化线面垂直，且垂足在球面，可用上述结论。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
解：侧面PAD⊥底面ABCD，CD垂直于它们的交线AD,垂足D在球面上，
CD=2,PAD为等腰直角三角形,外接圆半径是2，故
 
 
 
 
 
 
 
 
除了长方体（或正方体）与球有天然联系外，还有正三棱锥也与球密不可分，球心O落在正三棱锥的高AE上（如右图），解题中经常用到。推广到一般情况能用模型，满足有线面垂直，垂足落在垂面与球面相交的圆的圆心,是高，是垂足所在圆面的圆心，是球的半径
例4、已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个球面上，△ABC所在截面圆的圆心O在AB上，SO⊥平面ABC，AC＝，BC＝1.若三棱锥的体积是3(3)，则球体的表面积是(　　)
分析：此题明显特征是存在面面垂直，通过转化可以转化线面垂直，且垂足在小圆圆心，可用上述结论。
 
 
 
 
 
 
解：SO⊥平面ABC，O是△ABC所在截面圆的圆心，则
,由三棱锥的体积
解得SO＝2.
，代入公式可得R＝4(5)，球的表面积为S＝4πR²＝4(25)π
例5、已知三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB＝SA＝SB＝SC＝2，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是（   ）。
分析：此题没有明显特征垂直，但SA＝SB＝SC,结合几何特征可知，点P在面ABC的射影是△ABC外接圆的圆心，可用上述结论。
 
 
 
 
 
 
 
 
解：∵三棱锥S－ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA＝SB＝SC，∴S在平面ABC上的射影为AB的中点H，SH＝,△ABC外接圆半径r=1,即O与平面ABC的距离为3(3).
多面体的外接球问题各种模型层出不穷，本文只是针对有垂直，垂足落于球面和小圆的圆心题目提出了来自己的一些想法，希望对空间想象能力弱的一些学生有所帮助。
参考文献
[1]李志娜。外接球问题的解法之我见   教学研究  2015年26期
[2]卫福山。几何体的内切与外接球问题  中学教学研究   2010年12期
[3]周晓瑞。“外接球问题”解法小议论  龙源期刊网 2015年10月
[4]2018年新高考二轮专项突破+考前集训（文科数学） 北京师范大学组编