利用一题多解,培养发散思维
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来源:中国教师 作者:张军 山东省潍坊市工程技师学院 张军 在进行数学复习时,如何选择典型例题作为课堂解题示范,是一个值得探讨的问题。本人认为:“山不在高,有仙则灵”。“题不在多,精选则行。”应尽可能的精选那些可引导学生进行多向思维,把所学的各方面的知识有机的联系起来,既可巩固基础知识,又可逐步培养发散思维的一题多解的题型。
例如:若实数x、y满足x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最值。
解法一:(判别式法)令u=x-2y,将x=u+2y代入
x2+y2-2x+4y=0 可整理成关于y的二次方程: 5y2+4uy+(u2-2u)=0
∵y∈R ∴△=(4u)2-20(u2-2u)≥0
从而0≤u≤10 故umin=0, umax=10
解法二:(几析几何法)由x2+y2-2x+4y=0配方得
(x-1)2+(y+2)2=5, 令x-2y=u,则y=x-
于是原题转化为:当直线 y=x-与圆(x-1)2+(y+2)2=5
有公共点时直线y=x-在y轴上的截距的最值,显然
当直线y=x-与圆相切时,-有最大或最小值时,而
相切时,圆心C(1,-2)到直线x-2y-u=0的距离等于半径,
即u=0或u=10
故umin=0, umax=10.
解法三:(三角代换法) 由x2+y2-2x+4y=0得(
联想到cos2θ+sin2θ=1,为此令cos,=sinθ,则
x=1+cosθ, y=-2+sinθ, ∴ u=x-2y
=5+cosθ-2sinθ=5+5cos(θ+φ)
故umin=0, umax=10.
解法四:(复数法)由x2+y2-2x+4y=0 得 (x-1)2+(y+2)2=5, 将此方
程看作复平面上以复数1+2i对应的点为圆心,以为半径的
圆。又由2(x-2y)=x2+y2 知x-2y=(x2+y2)= 于是问
题的关键转化为:在圆(x-1)2+(y+2)2=5上找一点M,使复数x+yi
的模最大或最小。 如图
由此易知:
∴(x-2y)min=0, (x-2y)max=
仅是一道例题,难度也不大,但从不同的角度进行多向思维,综合运用了代数、解析几何、三角等诸多知识,把多种知识有机而巧妙的联系起来,使各个知识点得到了很好的复习与运用,许多学生深受启迪,教学取得了良好的效果。
因此,在复习课的教学中应精选题型,精讲精练,注意有意识、有目的地对知识进行纵横联系,正确引导学生进行多向思维,一题多解,使学生产生丰富的联想,从而使知识不断得到深化,培养他们的发散思维。
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