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不同版本初中数学教材《垂径定理》比较研究

来源:中国教师 作者:张雅丽

    北京市通州区牛堡屯学校   张雅丽

    【摘要】文章选取人教版、北师大版和北京版教材《垂径定理》这一内容,从内容设置、定理引入及证明方式、例题习题三方面进行比较研究,为实际教学提供参考.

    【关键词】垂径定理  教材比较

    .问题的提出

    教材是实现课程目标,实施教学的重要资源,是教学内容的主要依据,是实现一定教育目标的重要工具,是师生教与学的主要材料.目前,初中数学教材真正实现了百花开放,百家争鸣的局面.由于版本不同,同一版本新旧教材不同,而且每一版本处理同一知识内容的方式不尽相同,很多老师对此感到十分困惑.从另外一个角度看,如果教师能够对不同教材进行认真的分析比较,无疑将有助于教学活动的开展.圆是平面几何中最重要基本图形之一,作为初中生遇到的第一个曲线型图形,区别于以往的直线型图形的学习,这对学生来讲是个挑战.圆的轴对称性是圆的重要性质,垂径定理是圆轴对称性的具体体现.因此,本文选取《垂径定理》这一节进行对比研究,以期达到帮助一线数学教师有针对性的选择使用的目的。

    二.研究设计

    文章选取人民教育出版社出版的《义务教育教科书•数学》(九年级上册,2014版)(以下简称人教版教材)、北京出版社出版的《义务教育教科书•数学》(九年级上册,2015版)(以下简称北京版教材)和北京师范大学出版社出版的《义务教育教科书•数学》(九年级下册,2013版)(以下简称北师大版教材)的《垂径定理》内容作为比较对象.采用内容分析法对三个版本教材对比研究.文章分别从以下三个方面进行研究:内容设置的比较、垂径定理引入及证明方式的比较和例题习题的比较.通过对三个版本教材的对比研究,希望可以为教师的教学提供参考.

    三.研究结果

    (一)内容设置的比较

    首先,为了说明三种教材在此部分内容上的差异,笔者将三个版本教材《垂径定理》这部分内容进行了对比,整理如表1

    圆(人教版)

    圆的有关性质

    垂直于弦的直径

    弧、弦、圆心角

    圆周角

    圆(北师大版)


    圆的对称性


    垂径定理


    圆周角和圆心角的关系


    圆(北京版)

    圆的有关概念

    圆的有关概念

    过三点的圆

    圆的性质

    圆的对称性

    圆周角

    1

    三个版本教材所涉及到的内容基本一致,都涉及到了圆的有关概念,圆的性质,但知识呈现顺序存在差异.人教版和北京版教材均先呈现《垂径定理》一节内容,而北师大版教材先呈现弧、弦、圆心角的关系.以上是三个版本教材针对本节内容在编排顺序上的差异.

    (二)《垂径定理》引入及证明方式的比较

    《垂径定理》是圆的轴对称性的具体体现.容易发现,《垂径定理》的得出难点在证明弧等.

    版本

    引入及证明方式

    人教版

    教科书在本小节开始,首先提出要在学习与圆有关的概念的基础上研究圆的性质的问题,从概念到性质是研究几何图形的基本思路.接下来,教科书通过一个“探索”进栏目,让学生探索圆的轴对称性.把圆沿着它的任意一条直径对折,很直观.学生不难理解“圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴”.对于圆是轴对称图形的证明,教科书采用“在圆上任取一点,证明它关于对称轴(直径所在直线)对称的点也在圆上”进行证明.教科书结合研究圆的轴对称,得到了《垂径定理》及有关结论.

    北师

    大版

    由于前面学生学习了弧、弦、圆心角的关系,所以教材直接呈现《垂径定理》的基本图形.教科书展示了垂径定理的一种证明方法.基本思路是:先构造等腰三角形,由垂直于弦得出平分弦,然后再利用上一节弧、弦、圆心角的关系,由圆心角相等得出弧相等的结论.

    北京版

    从研究圆的轴对称性出发,推出了《垂径定理》和它的重要推论.《垂径定理》的证明是通过构造等腰三角形,由垂直于弦的直径平分弦,直径所在直线既是等腰三角形的对称轴也是圆的对称轴,所以当把圆折叠时,直径两侧的两个半圆重合,弧也重合.

    2

    通过表2不难发现,各个版本《垂径定理》的引入上都是通过研究圆的轴对称性引出《垂径定理》和它的重要推论.但在定理的证明方式上有所不同:人教版注重对逻辑推理能力的训练,在证明过程中用到了两次任意,任意做一条直径,在圆上任意取一点作该点关于直径的对称点.两次“任意”对于初中学生自主探究困难是显然的.北京版教材《垂径定理》的证明是通过构造等腰三角形,由垂直于弦的直径平分弦,直径所在直线既是等腰三角形的对称轴也是圆的对称轴,所以当把圆折叠时,直径两侧的两个半圆重合,弧也重合.这样处理确实降低了学生理解的难度,但忽略了初中阶段培养学生演绎推理能力的目标.北师大版教材先探究弧、弦、圆心角的关系,再利用“在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧等”、等腰三角形三线合一等证明《垂径定理》,这样处理既易于学生接受,又考虑到了初中阶段培养学生逻辑推理能力的目标.

    (三)例题与习题的比较

    笔者将《垂径定理》这一节例题和习题的数量进行了统计,整理如下表

    教材

    人教版

    北京版

    北师大版

    例题

    垂径定理

    垂径定理

    垂径定理

    1

    3

    1

    习题

    10

    11

    6

    3

    观察表3,我们得出以下结论:首先在例题设置上北京版设置了3到例题,人教版和北师大版只设置了1道例题,但通过对比发现,三个版本教科书例题均涉及《垂径定理》的实际应用,教材还是比较重视学习数学的实际应用价值的;其次在习题的设置上对比发现,人教版和北京版从习题设置数量上看明显比北师大版多,但三个版本教科书习题的设置丰富,既有以数学史料为背景的题目,也有利用所学知识解决实际问题的题目,关注数学文化的同时,也考虑到了数学的应用价值.

    .研究结论

    通过对比三个版本教材,对《垂径定理》的教学有如下启发:从《垂径定理》的证明看,人教版对《垂径定理》的证明超出了初中学生的认知水平;北京版对《垂径定理》的证明淡化处理,这样不利于初中学生逻辑推理能力的培养;北师大版通过调整垂径定理和弧、弦、圆心角的关系突破了《垂径定理》证明的难点.

    五.教学建议

    1.养成阅读不同版本教材的习惯、博取众众家之长.

    2.结合学生的学习情况,创造性的使用教材.

    笔者建议如下:首先北师大教科书先呈现弧、弦、圆心角的关系再呈现《垂径定理》,这样处理降低了学生理解的难度,其次对于《垂径定理》的基本图形三个版本教科书均是直接给出的,建议这里进行局部小单元设计,让学生经历基本图形产生的过程.

    参考文献:

    [1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[S].北京:北京师范大学出版社,2012

    [2]金淑岚 郑烨晔 陈婉 叶立军. 中日数学教材比较研究——以《圆的性质》为例[J]. 中学数学杂志,2014,12

    [3]周琳辉 唐恒钧. 中国与新加坡教材中的数学探索内容比较——以初中“圆的性质”内容为例[J]. 教材点击,2019,3

    [4]秦梅 虞秀云. 中美初中数学教材内容呈现的比较——以“圆的弧与弦的有关性质”为例[J]. 中国数学杂志,2016,8


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