抽丝剥茧反比例，画龙点睛用图像

来源:中小学教育 作者: 马鸿月

 

山东省威海市高技区神道口中学    马鸿月
《反比例函数》作为鲁教版九年级上册的第一章的内容，它是在学习了两个变量之间的关系、平面直角坐标系、正比例函数、一次函数以及二元一次方程组后的内容，学生已经积累了一定的研究函数的方法，但对于反比例函数一些独有的性质规律或和其他函数巧妙结合的问题的解决策略，还需要我们深入的探讨，下面我就反比例函数问题进行阐述：
一、概念理解
反比例函数的关系式有三种形式：，，，其中，我们要知道这三种形式的不同用处，是反比例函数的一般形式，我们在设反比例函数时常用；是快速求k的形式；是应用于反比例函数的概念深入考查，如:
例1：函数是反比例函数,则m的值是___________.
分析：我们在研究这类需要满足多个条件的问题时，会经常漏条件，明明知道最后却忘记了，所以我认为应该先把满足的条件先罗列出来，再分别解，最后综合分析取值，本题就应该先满足解得得.
二、图像与性质
反比例函数的图像是光滑的双曲线，当k>0时，图像在第一三象限；当k<0时，图像在第二四象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；图像无限接近两条坐标轴但永不相交，这些性质在具体题目中的应用特别灵活。
下面我就具体举例来展现它的精彩：
1、利用增减性求参数的取值或取值范围
如例2：已知反比例函数在它的图象所在象限内y随x的增大而减小,求m的值。
分析：由题意得，解得，得，当然对于反比例函数来说，我们利用增减性解题，必须有一个前提就是在同一象限内，除了直接说之外，还可以说当x>0或x<0时也是说明在同一象限内。
2、利用增减性比较大小
如例3：若A(3，)，B(2，)，C(-1，)三点都在函数的图象上，则，，的大小关系是____________
分析：不同的学生喜欢不同的方法，我们要给学生只有选择的空间：
法1：代入法，把分别x=3,2，-1代入，求出，，后直接比较大小。
法2：增减性，由k=-1<0,图像在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，则0>>，结合>0，所以得出结论。
法3：图像法，根据k=-1<0,图像在第二四象限，画出草图，在x轴上找到3,2，-1，再过这三个点向反比例函数作垂线，再过垂足向y轴作垂线，看与y轴的交点谁在上谁大，谁在下谁小。
3、用矩形或三角形面积与K的关系
我们知道对于反比例函数上的任意一点分别向x轴和y轴作垂线，如图(例4的选项A图)得到一个小矩形，如果连接OC,又得到△OAB和△OAC且OB=|x|,OC=|y|,所以矩形面积S=|x.y|=|K|=。当然我们还要理解到对于同一个反比例函数，不论你在哪个点上作小矩形或小三角形，它们可以形状不同，但是面积总是分别相等。
当然，对于反比例的面积问题，我们要理解好本质就是把点的坐标转化成线段的长来求面积。
如例4:在的图象中，阴影部分面积不为1的是（  ）
A.B. C. D. 
分析：我们在研究反比例的面积问题时，要充分开拓学生的思维，有助于学生数学核心素养的培养。
法1：设A(x,y),选项A的面积就是K为1，选项BCD都可以看成反比例函数与正比例函数的交点为点A和点B，它们关于原点对称，所以对于选项B，选BC=|2x|当底，AC=|2y|为高，面积就是|2k|=2，同理选项C，选AC=|y|当底，从点B向AC的延长线作垂线段|2x|为高，面积就是|k|=1,选项D选AC=|x|当底，从点B向AC的延长线作垂线段|2y|为高，面积就是|k|=1。
法2：我们可以这样，理解对于选项A，就是一个小矩形；对于选项B，两个小三角形和一个矩形；对于选项C和D，一个小三角形以及一个和它同底等高的小三角形.
法3：选项A，设点横坐标为，则纵坐标为，所以阴影部分面积。选项B，设，则，则阴影部分面积为。选项C，设，则，阴影部分面积。选项D，设，则，阴影部分面积。
4、反比例函数与正比例函数或一次函数相结合问题
   （1）矛盾法选图像
如例5：函数与在同一坐标系的大致图象是(  )
  A.   B.   C.   D. 
分析：这种类型的题目，我们一般都采用矛盾法，但是矛盾法的使用又略有不同，如法1和2，也可以使用直接分类讨论画图像法。
法1：对于每一个选项，我们先假设其中一个函数正确，根据图像特点推出K的符号，根据K的符号再看另一个函数图像是否正确。我们一般假设反比例正确因为它简单，比如选项A，假设反比例正确则K>0,但是一次函数图像不对，所以矛盾。同理推出选项B，D都有矛盾。只有C是正确的。
法2：对于每一个选项，直接看两个函数图像，推出各自的K的符号，看是否矛盾，比如选项A，反比例推出K>0，而一次函数推出K<0，所以矛盾。同理推出选项B，D都有矛盾。只有C是正确的。
法3：直接分类讨论，当K>0时,一次函数过一三四象限,反比例函数过一三象限,当K<0时,一次函数过一二四象限,反比例函数过二四象限,C选项是正确的。
    （2）数形结合法求取值范围
如例6：如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于，两点，若，则的取值范围是（  ）。
 
A.  B.  C.  D.
分析：这种类型的题目为了看得更清晰，更利于理解，可以从交点A、B处，分别作两条与y轴的垂线，这样由于反比例函数不与y轴相交，就被两条垂线和y轴分成了4个区域，直接观察谁在上谁就大，谁在下谁就小，本题应该是看直线在下，曲线在上的区域，得出x的取值范围，选D.
（3）点与关系式的万能代入法
如例7：如图，已知反比例函数与一次函数的图象交于，。
 
    （1）求、、的值。（2）求的面积。
分析：我们在研究反比例函数的问题的时候，你会发现无非就是研究点和关系式，所以我们只要把握好只有这个函数上的点才能代入这个函数关系式就可以了，已知点坐标代入关系式求关系式里的参数，已知关系式带入未知点能求其坐标，还要知道正比例函数需要一个点，一次函数需要两个点，反比例函数需要一个点。
（1）把点在反比例函数得，得；再把点在反比例函数上，得m=-2,再把点，点代入一次函数得解得。
（2）设一次函数的图象与轴交于点。由（1）得到一次函数为，令，解得，所以点，所以。
我们在求三角形的面积类问题时，一定要关注水平或竖直的边，因为它可以
做三角形的底，再用其他点的纵或横坐标做高来求面积；当然如果没有关注水平或竖直的边，我们一般采用切割法，把三角形沿y轴或x轴切割成两个三角形，再求面积；再如果我们也无法切割，我们一般采用间接法，求出包含这个三角形或图形的大图形的面积，分别减去其他图形的面积即可。
    总之，反比例函数问题千变万化，以上分析总结绝对是不全面的，但是这些变化无穷的问题都来自于我们对反比例函数概念的深刻理解，对反比例函数图像与性质的灵活应用。