题组递进，回归经典——谈栽树问题

来源:中小学教育 作者:侯正卫

 

湖北省襄阳东风中学  侯正卫    
 
冬去春来，万物复苏，昨天周日同学们参加了义务植树活动，今天是3月12日植树节，我们来讲一讲栽树中的数学问题。据说大数学家牛顿曾以诗歌形式提出了一个数学栽树问题: “要栽九棵树,请你来帮忙, 每行栽三棵,恰好成十行”。 数学科普作家杰克逊在他的数学科普名著《冬天傍晚的推理娱乐》里提到类似的栽树问题。19世纪末，在英国数学家杜德尼的《520个趣味数学难题》中也有个植树问题：16棵树，每行4棵，栽成16行，如何栽法？我国民间流传有“大红灯笼高高挂：要挂十盏灯，请你来帮忙,每行挂四盏，恰好称五行”。今天我们把这些趣题组成题组，一并奉献给大家。
问题（1）、6棵树，栽4行，每行3棵，如何栽？
一石激起千层浪，同学们展开智慧的翅膀，很快就给出了如图（1）的正确答案。
问题（2）、7棵树，栽5行，每行3棵，如何栽？
问题（3）、7棵树，栽6行，每行3棵，如何栽？
    这是两道辨析题，更是一组小台阶题，对初中学生有一定难度，同学们对这一问题的讨论经久不息，最后给出了漂亮美丽的答案： “8”字型全等三角形一针穿过，如图（2）；正三角形三边及中线，如图（3）。    
             
问题（4）、9棵树，栽10行，每行3棵，如何栽？
    这就是著名的“牛顿栽树问题”，学生要给出如图（4）的正确答案是很有难度的（当然还有其它答案），如果从“田字格”在画两条斜线出发（满足9棵树，栽8行，每行3棵），移动中层三棵的位置（满足9棵树，栽9行，每行3棵），再回到解决牛顿栽树问题是有可能的。当这个问题被征服后，此起彼伏的掌声，长时间在教室回荡，同学们为自己的聪明才智而欢呼。

问题（5）、9棵树，栽3行，每行4棵，如何栽？
如图（5）给出了部分符合条件的答案，以用于培养学生的发散思维。
问题（6）、9棵树，栽3行，每行5棵，如何栽？
答案：不能，因为两点确定一条直线，三条直线最多有3个交点，那么最少也要有15-3=12棵树。此处放一个不可能问题，是为了培养学生思维的批判性。当知道答案后，不少学生露出了惊讶的表情，题目也能这样出？
 
 

问题（6）、9棵树，栽3行，每行5棵，如何栽？
答案：不能，因为两点确定一条直线，三条直线最多有3个交点，那么最少也要有15-3=12棵树。此处放一个不可能问题，是为了培养学生思维的批判性。当知道答案后，不少学生露出了惊讶的表情，题目也能这样出？
问题（7）、10棵树，栽5行，每行4棵，如何栽？
优美的五角星栽法如图（7），让学生感受数学的对称美。
问题（8）、12棵树，栽6行，每行4棵，如何栽？
“六角星魔法阵”，“两个三角形插在一起”，学生探索的热情达到高潮，贴切、诙谐的解说词不绝于耳。
问题（9）、13棵树，栽12行，每行3棵，如何栽？
    答案：如图（9）“大纺车”。本题比较容易，为学生今后的进一步学习，留住兴趣。
                         
问题（10）、10棵树，栽12行，每行3棵，如何栽？
牛顿进一步研究的问题，答案，如图（10），供学有余力的学生参考使用。
问题（11）、16棵树，栽16行，每行4棵，，如何栽？
杜德尼植树问题，答案，如图（11），难度达到前所未有。