一节高中数学习题课给高中数学教学改革深度发展的若干启示

来源:中小学教育 作者:张红梅

万盛经济技术开发区溱州中学

从2004年正式启动高中新课程改革，已经过去十多年．相对来说，虽然穿新鞋走老路的人还大有人在，由于数学学科的特殊性，教师们还是放不开手脚，离高效课堂还有很远很远的路，知识与能力之间建起了一些纽带，但却没有桥连接，核心素养就更无从谈起。笔者在湖北武汉一所中学听了王老师的一节数学习题课．习题课的内容是三角函数在实际问题中的应用。听了这节课，笔者感到深有启发，值得借鉴。

一、本次高中数学习题课的内容

本节课一开始王老师播放了一则关于利用法律武器解决住房采光权纠纷的报道，引出下面的探究1。

探究1 如果在北京地区（维度约北纬40度）的一栋高为h的楼房北门盖一新楼，要使新楼一层正午的阳光全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少？（北回归线纬度是北纬23°26'，南回归线纬度是南纬23°26'）

这是一道比较难的跨界的综合性数学题，楼房形成的影子随太阳光的投射角度变换而发生变化，但不会超过北回归线与南回归线，学生反复观察后老师提出以下的问题。

问题1 根据地理知识，北京地区一年中正午太阳射到什么位置时，物体的影子最长?

问题2  物体的影子最长时设光线与地面的夹角为θ，怎么求θ？

问题3  设高为h_o的楼房在地面上的投影长为h，怎么求h？

通过数形结合建立直观联系．并告知tan 23°26' = 0. 435，tan 26°34' = 0. 499。由学生先独立思考，动手解决．一段时间后选学生代表上黑板讲演，问题解决，得到h约等于2h_o。

紧接着给出变式练习．

变式练习  如果你们家想在北京某住宅小区买房，该小区的楼高7层，每层3米，楼与楼之间相距15米，要使所买房在一年四季正午的太阳不被前面的楼房遮挡，你认为最低应该选择第几层的房？

老师用希沃白板软件帮学生画好了三幢并排7层楼房的模型图，便于学生建立直观想象，利用前面的结论解决实际问题。学生代表分别用从上面和从下面考虑，通过不同的视角解决了问题。

探究2  某地一天从6 -14时的温度变化曲线近似满足函数：

y = Asin( ωx + φ) + b．试求该函数的解析式。

这是一个由图形确定解析式的问题，可分解为5个小问题，分别是：

问题1  这一天6 - 14时的最大温差是多少？

问题2  函数式中A、ω、b的值分别是多少？

问题3  如何确定函数式中φ的值？

问题4  这段曲线对应的函数是什么？

问题5  这天12时的温度大概是多少？

在学生独立解决完每一个小问题后，老师都不忘点拨或归纳小结，照顾和保护每一位学生的学习积极性，并且给出学习方法的指导。

探究3  海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在潮落时返回海洋，下面是某港口一天中的时间与水深关系表：

时刻	0：00	3：00	6：00	9：.00	12:00	15:00	18:00	21:00	24:00
水深	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0	7.5	5.0	2.5	5.0

问题1 观察表格中的数据，设水深为y，时间为x，作出表中数据对应的散点图，每天水深变化是否有周期性？你认为可以用哪个类型的函数来拟合这些数据？

问题2  如果用y = Asin( ωx + φ) + b来刻画水深和时间之间的对应关系，如何确定解析式中的参数值？

问题3  这个港口的水深与时间的关系可以用什么函数近似描述？

问题4  一条货船的吃水深度为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？

二、课程重点难点分析

（1）实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多学科的知识才能解决它，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景抽取基本的数量关系，还要调动相关学科知识来帮助理解问题。

（2）根据三角函数图象建立函数解析式， 就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值，同时要注意函数的定义域。

（3）对于现实世界中具有周期现象的实际问题，可以利用三角函数模型描述其变化规律。

（4）在解决实际问题时，要学会具体问题具体分析，充分运用数形结合的思想，灵活运用三角函数的图象和性质进行解答。

三、本次数学课堂的深度改革亮点

（1）采用了主线式（结构化）教学．把利用三角函数模型解决实际问题的不同层面一一展现，从跨界的多学科综合题抽象为数学问题，利用已知函数的图象求解函数解析式的方法探求，到最后利用数据描绘为散点图，自己寻找函数模型拟合解决实际问题。

（2）设置情境引进数学问题时，通过设置的情境循循善诱地引导学生抽象为一个学生自己熟悉的数学问题。

（3）用问题串引领，将大问题分解为一个个的小问题，留给学生独立思考，小组讨论，充分鼓励和调动学生的积极性，不代替学生思考和解答。

（4）教学过程先做后说，先学后教，先练后讲，低起点，缓坡度，高目标，给不同层次的学生留有余地，留有空间。

（5）运用探究式教学方式，培养学生自行思考能力；实施开放性教学，培养学生数学思维能力和发散思维能力。问题引出，环环相扣，循序渐进，帮助学生牢固掌握数学知识，培养学习主动性和探索精神。

总之，王老师的这节数学课，用问题做导线，聚焦核心素养，培养学生的理性思维和合情推理意识，小中见大。

四、本次数学课堂实践对数学教学深度改革的启示

（1）了解学生，以生为本，以学定教，循序渐进，避免课堂快、乱、杂。

（2）问题引领，放飞思维，课堂留白，学生主体，教师主导，避免课堂灌、闷、空。

（3）提倡单元（主题）整体设计教学，追求数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性。

（4）教师除了精心设计课堂教学外，还需要在课堂上根据学生的表现随机应变，生成新的教学资源来丰满课堂。学会“做钩”引导学生“上钩”，促使师生合作达到新的高度。

（5）借助技术，注重铺垫，解决（复杂、跨界）情境问题。先定性，再定位，后定量，培养学生理性思维的习惯。

（6）师生合作，有序推进：生在前师在后，做在前讲在后，问在前答在后，讲（生）在前评（师）在后，真正体现以生为本的教育理念。

（7）通过构建系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题．把如何抽象数学对象、如何发现和提出数学问题作为教学的关键任务，以实现从“知其然”到“知其所以然”再到“如何知其所以然”的跨越。